Пифагорейская космогония и многогранники
В трудах ученика Пифагора Филолая Кротонского, неоплатоника Прокла и византийца Симпликия часто упоминаются пифагорейские связи между четырьмя элементами – огнем, землей, воздухом и водой – и правильными многогранниками: тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром соответственно. В этот ряд входит и пятый многогранник, додекаэдр, который символизирует всю Вселенную. Его 12 граней являются пятиугольниками, а это значит, что они содержат пятиконечную звезду, пифагорейский символ. Хотя уже пифагорейцы знали об этих многогранниках и подчеркивали их космологическую символику, именно Платон был самым большим сторонником этих идей. В честь него эти многогранники получили название «платоновы тела».
В 12-й и 13-й книгах «Начал» Евклида упоминаются длины ребер пяти правильных многогранников. Вписанные в сферу радиуса 1, эти многогранники имеют ребра длиной 2√6 /3 (тетраэдр), √2 (октаэдр), 2√3/3 (куб), √10(5-√5)/5 (икосаэдр) и (√15 — √3)/3 (додекаэдр).
Эти многогранники привлекали внимание таких художников, как Пьеро дела Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Кроме того, астроном Иоганн Кеплер построил на их основе модель Солнечной системы в эпоху, когда было известно только шесть планет.