Невыпуклые однородные многогранники.

 Глава 2. 

Невыпуклые

однородные

многогранники.

Если вы уже познакомились с выпуклыми однородными многогранниками, включающими семейства платоновых тел, архимедовых тел, призм и антипризм, то у вас, вероятно, возник вопрос: существуют ли невыпуклые однородные многогранники? Если существуют, то сколько?

Невыпуклые однородные многогранники, то есть невыпуклые многогранники, все грани которых — правильные многоугольники и все многогранные углы которых равны, действительно существуют.

2014-03-29 08-35-48 Скриншот экранаНевыпуклый многогранник с выпуклыми гранями

2014-03-29 08-36-31 Скриншот экрана

Невыпуклый многогранник с невыпуклыми гранями

Однородный многогранник может быть невыпуклым в одном из двух случаев. Во-первых, его выпуклые грани могут пересекаться. На рисунке слева изображен октагемиоктаэдр. Его выпуклые грани — треугольники и шестиугольники — пересекаются, и в результате тело получается невыпуклым.

Во-вторых, сами грани могут быть невыпуклыми правильными многоугольниками. На рисунке справа изображен малый звездчатый додекаэдр, гранями которого являются невыпуклые пятилучевые звезды — пентаграммы.

Невыпуклые однородные многогранники, так же, как и выпуклые, делятся на три класса.

Невыпуклые правильные однородные многогранники, или тела Кеплера-Пуансо — это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых — правильные многоугольники (например, все грани — пентаграммы).

Невыпуклые полуправильные однородные многогранники — это невыпуклые однородные многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники нескольких различных типов (например, треугольники и пентаграммы).

Кроме того, существует бесконечное семейство невыпуклых призм и антипризм. Их грани — правильные многогранники различных типов, но их выделяют в отдельное семейство по соображениям симметрии.

Тела Кеплера-Пуансо

2014-03-29 08-36-59 Скриншот экрана

Тела Кеплера-Пуансо

Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел — четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера-Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо — это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Гранями малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра являются правильные пентаграммы, которые соединяются в каждой вершине по пять в первом и по три во втором многограннике. Эти тела были впервые описаны Иоганном Кеплером.

Грани большого додекаэдра — правильные пятиугольники. Его вершины в точности совпадают с вершинами икосаэдра, но грани пересекаются.

Последний прдеставитель этого семейства — большой икосаэдр. Его вершины также совпадают с вершинами икосаэдра, но грани — пересекающиеся треугольники. Так же, как и предыдущий многогранник, большой икосаэдр впервые был описан Луи Пуансо.

Платоновы тела и тела Кеплера-Пуансо вместе составляют семейство из девяти правильных однородных многогранников. Коши доказал, что этот список полон, то есть других правильных однородных многогранников не существует.

 


Представители семейства
2014-03-29 08-37-33 Скриншот экрана1. малый звездчатый додекаэдр 2014-03-29 08-38-54 Скриншот экрана3. большой звездчатый додекаэдр
2014-03-29 08-38-00 Скриншот экрана2. большой додекаэдр 2014-03-29 08-39-15 Скриншот экрана4. большой икосаэдр

 

Невыпуклые  полуправильные

 

однородные  многогранники.

 

Вспомним, что однородным называется многогранник, все грани которого — правильные многоугольники (возможно, невыпуклые), а все вершины одинаковы. В список однородных многогранников, таким образом, попадают 5 платоновых тел, 13 или 14 архимедовых тел, 4 тела Кеплера-Пуансо и, кроме того, бесконечные семейства выпуклых и невыпуклых призм и антипризм. Существуют ли другие однородные многогранники? Если существуют, то сколько? Ответ на этот вопрос известен — существуют еще 53 полуправильных невыпуклых однородных многогранника.

Как следует из названия, в это семейство входят невыпуклые аналоги архимедовых тел, то есть невыпуклые многогранники, грани которых — несколько различных правильных многоугольников (возможно, невыпуклых).

37 представителей этого семейства обнаружил Бадуро (публикация 1881 г.), исследовавший платоновы и архимедовы тела с целью найти правильные многоугольники или звезды среди сечений этих тел. При этом плоскости таких сечений могут пересекаться. Дело в том, что если из исходного тела удалить некоторые симметрично расположенные части, отделяемые этими плоскостями, то может получиться новый однородный многогранник. Такой процесс удаления «лишних» частей можно назвать огранкой многогранника.

Если с этой позиции рассмотреть тела Кеплера-Пуансо, то обнаруживается, что малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр могут быть получены огранкой икосаэдра, а большой звездчатый додекаэдр — огранкой додекаэдра.

Помимо Бадуро, поисками невыпуклых однородных многогранников занимались и другие исследователи. В публикации от 1878 года Гесс указал два новых однородных многогранника (его работа предшествовала публикации Бадуро). Питч (1881 год) независимо нашел 18 однородных многогранников, причем некоторые из них не содержались в списке Бадуро. В 1930-1932 годах Коксетер и Миллер открыли 12 новых однородных многогранников, но не опубликовали свой результат, так как надеялись получить строгое доказательство того, что других однородных многогранников не существует. Независимо от них М. Лонге-Хиггинс и Г. Лонге-Хиггинс в 1942-1944 годах нашли 11 из 12 этих многогранников.

В 1952 году обе группы исследователей смогли ознакомиться с параллельно ведущимися работами. Тем временем в 1947 году Лесавр и Мерсье еще раз «переоткрыли» 5 из этих 12 тел. В статье «Однородные многогранники», вышедшей в 1954 году, Коксетер, Миллер и М. Лонге-Хиггинс перечислили все 75 известных на тот момент однородных многогранников. Как отмечали авторы статьи, они предполагали, что » приведенное перечисление полное, хотя строгое доказательство этого еще только требуется получить».

Доказательство полноты этого списка было получено только в 1975 году Скиллингом. Использовался компьютерный перебор всех возможных треугольников Шварца — сферических треугольников, сеть которых покрывает сферу конечное число раз. В результате Скиллинг «переоткрыл» все 75 ранее известных однородных многогранников и доказал, что других однородных многогрнников не существует.


Представители семейства
тетраэдральная группа симметрии
2014-03-29 08-40-09 Скриншот экрана1. тетрагемигексаэдр 2014-03-29 08-40-35 Скриншот экрана2. октагемиоктаэдр
Октаэдральная группа симметрии
2014-03-29 08-46-49 Скриншот экрана3. малый кубокубоктаэдр 2014-03-29 08-50-26 Скриншот экрана4. большой кубокубоктаэдр
2014-03-29 08-47-35 Скриншот экрана5. кубогемиоктаэдр 2014-03-29 08-51-25 Скриншот экрана6. кубооктоусеченный кубоктаэдр
2014-03-29 08-48-33 Скриншот экрана7. квазиромбокубоктаэдр 2014-03-29 08-51-55 Скриншот экрана8. малый ромбогексаэдр
2014-03-29 08-49-05 Скриншот экрана9. квазиусеченный гексаэдр 2014-03-29 08-52-29 Скриншот экрана10. квазиусечен.ный кубоктаэдр
2014-03-29 08-49-52 Скриншот экрана11. большой ромбогексаэдр
икосаэдральная группа симметрии
2014-03-29 09-01-24 Скриншот экрана12. малый битригональный икосододекаэдр 2014-03-29 10-03-11 Скриншот экрана13. малый икосоикосододекаэдр
2014-03-29 09-30-13 Скриншот экрана14. малый додекоикосододекаэдр 2014-03-29 10-03-38 Скриншот экрана15. додекододекаэдр
2014-03-29 09-02-30 Скриншот экрана16. малый ромбододекаэдр 2014-03-29 10-04-16 Скриншот экрана17. усеченный большой додекаэдр
2014-03-29 09-03-01 Скриншот экрана18. ромбододекододекаэдр 2014-03-29 10-04-42 Скриншот экрана19. битригональный додекаэдр
2014-03-29 09-03-26 Скриншот экрана20. большой битригональный додекоикосододекаэдр 2014-03-29 10-05-06 Скриншот экрана21. малый битригональный додекоикосододекаэдр
2014-03-29 09-03-53 Скриншот экрана22. икосододекододекаэдр 2014-03-29 10-05-25 Скриншот экрана23. икосододекоусеченный икосододекаэдор
2014-03-29 09-04-22 Скриншот экрана24. большой битригональный икосододекаэдр 2014-03-29 10-05-58 Скриншот экрана25. большой икосоикосододекаэдр
2014-03-29 09-39-32 Скриншот экрана26. малый икосогемидодекаэдр 2014-03-29 10-06-29 Скриншот экрана27. малый додекоикосаэдр
2014-03-29 09-04-59 Скриншот экрана28. малый додекогемидодекаэдр 2014-03-29 10-07-14 Скриншот экрана29. большой икосододекаэдр
2014-03-29 09-06-10 Скриншот экрана30. усеченный большой икосаэдр 2014-03-29 10-07-39 Скриншот экрана31. ромбоикосаэдр
2014-03-29 09-09-23 Скриншот экрана32. квазиусеченный звездчатый додекаэдр 2014-03-29 10-07-59 Скриншот экрана33. квазиусеченный додекаэдр
2014-03-29 09-09-51 Скриншот экрана34. большой додекоикосододекаэдр 2014-03-29 10-08-22 Скриншот экрана35. малый додекогемиикосаэдр
2014-03-29 09-10-50 Скриншот экрана36. большой додекоикосаэдр 2014-03-29 10-08-48 Скриншот экрана37. большой додекогемиикосаэдр
2014-03-29 09-11-22 Скриншот экрана38. квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр 2014-03-29 10-09-12 Скриншот экрана39. квазиромбоикосододекаэдр
2014-03-29 09-11-49 Скриншот экрана40. большой икосогемидодекаэдр 2014-03-29 10-09-56 Скриншот экрана41. большой додекогемидодекаэдр
2014-03-29 09-12-40 Скриншот экрана42. большой квазиусеченный икосододекаэдр 2014-03-29 10-10-24 Скриншот экрана43. большой ромбододекаэдр
курносые многогранники
2014-03-29 10-31-57 Скриншот экрана44. малый курносый икосододекаэдр 2014-03-29 10-34-06 Скриншот экрана45. курносый додекододекаэдр
2014-03-29 10-32-26 Скриншот экрана46. курносый икосододекододекаэдр 2014-03-29 10-34-35 Скриншот экрана47. большой вывернутый курносый икосододекаэдр
2014-03-29 10-32-47 Скриншот экрана48. вывернутый курносый додекододекаэдр 2014-03-29 10-34-57 Скриншот экрана49. большой курносый додекоикосододекаэдр
2014-03-29 10-33-11 Скриншот экрана50. большой курносый икосододекаэдр 2014-03-29 10-35-27 Скриншот экрана51. большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр
2014-03-29 10-33-40 Скриншот экрана52. малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр
не-вихоффский многогранник
2014-03-29 10-40-46 Скриншот экрана53. большой биромбоикосододекаэдр

Невыпуклые  призмы  и  антипризмы.

 

Наряду с семейством выпуклых призмам и антипризм существует семейство невыпуклых призм и антипризм. Так же, как и их выпуклые аналоги, невыпуклые призмы и антипризмы состоят из равных параллельных оснований, соединенных боковыми сторонами. Но, в отличие от выпуклых призм и антипризм, основаниями представителей рассматриваемого семейства являются невыпуклые многоугольники — например, пятилучевые звезды (пентаграммы).

В статье о выпуклых призмах и антипризмах было описано, как на данном основании строится соответствующая призма или антипризма. Кроме подсемейства призм и подсемейства антипризм, рассматриваемое семейство содержит еще одно, третье подсемейство -пересеченных антипризм.

Пересеченная антипризма может быть получена из обычной антипризмы, если повернуть одно основание относительно другого на 180°, а затем сдвинуть основания так, чтобы боковые стороны стали правильными треугольниками. Можно заметить, что такую операцию можно провести не над каждой антипризмой. Например, если попытаться сделать описанные манипуляции с гексаграмматической антипризмой то обнаружится, что для того, чтобы сделать боковые стороны правильными треугольниками, необходимо сблизить основания до их совпадения. Полученный вырожденный (плоский) объект уже нельзя назвать пересеченной антипризмой. Если же попытаться получить пересеченную антипризму из дигептаграмматической антипризмы то выяснится, что при любом расстоянии между основаниями боковые стороны не удастся сделать правильными треугольниками.

Каково же условие, при выполнении которого из антипризмы можно получить пересеченныю антипризму? Оно очень простое: угол при вершине многоугольника, лежащего в основании, должен быть строго меньше 60°.

Угол при вершине основания у гексаграмматической антипризмы равен 60°, у дигептаграмматической антипризмы — примерно 77°, поэтому соответствующие пересеченные антипризмы не существуют. Угол при вершине основания тетраэннеаграмматической антипризмы равен 20°, поэтому тетраэннеаграмматическая пересеченная антипризма существует.

Так как семейство невыпуклых призм и антипризм бесконечно, то, естественно, невозможно показать всех его представителей. Здесь представлены только те невыпуклые призмы и антипризмы, а также пересеченные антипризмы, основания которых имеют не более десяти вершин.


Представители семейства
2014-03-29 10-45-25 Скриншот экрана1. пентаграмматическая призма 2014-03-29 10-46-00 Скриншот экрана2. пентаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-46-22 Скриншот экрана3. пентаграмматическая пересеченная антипризма

2014-03-29 10-46-41 Скриншот экрана4. гексаграмматическая призма 2014-03-29 10-46-58 Скриншот экрана5. гексаграмматическая антипризма

2014-03-29 10-47-30 Скриншот экрана6. дигептаграмматическая призма 2014-03-29 10-47-51 Скриншот экрана7. дигептаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-48-23 Скриншот экрана8. тригептаграмматическая призма 2014-03-29 10-48-41 Скриншот экрана9. тригептаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-49-12 Скриншот экрана10. тригептаграмматическая пересеченная антипризма

2014-03-29 10-49-31 Скриншот экрана11. диоктаграмматическая призма 2014-03-29 10-57-15 Скриншот экрана12. диоктаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-57-55 Скриншот экрана13. триоктаграмматическая призма 2014-03-29 10-58-15 Скриншот экрана14. триоктаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-58-36 Скриншот экрана15. триоктаграмматическая пересеченная антипризма

2014-03-29 10-58-58 Скриншот экрана16. диэннеаграмматическая призма 2014-03-29 10-59-26 Скриншот экрана17. диэннеаграмматическая антипризма
2014-03-29 10-59-45 Скриншот экрана18. триэннеаграмматическая призма 2014-03-29 11-00-15 Скриншот экрана19. триэннеаграмматическая антипризма
2014-03-29 11-00-49 Скриншот экрана20. тетраэннеаграмматическая призма 2014-03-29 11-01-09 Скриншот экрана21. тетраэннеаграмматическая антипризма
2014-03-29 11-02-21 Скриншот экрана22. тетраэннеаграмматическая пересеченная антипризма

2014-03-29 11-02-56 Скриншот экрана23. дидекаграмматическая призма 2014-03-29 11-03-17 Скриншот экрана24. дидекаграмматическая антипризма
2014-03-29 11-03-42 Скриншот экрана25. тридекаграмматическая призма 2014-03-29 11-04-12 Скриншот экрана26. тридекаграмматическая антипризма
2014-03-29 11-04-32 Скриншот экрана27. тетрадекаграмматическая призма 2014-03-29 11-04-57 Скриншот экрана28. тетрадекаграмматическая антипризма
2014-03-29 11-05-21 Скриншот экрана29. тетрадекаграмматическая пересеченная антипризма