Глава 2.Невыпуклыеоднородныемногогранники. |
Если вы уже познакомились с выпуклыми однородными многогранниками, включающими семейства платоновых тел, архимедовых тел, призм и антипризм, то у вас, вероятно, возник вопрос: существуют ли невыпуклые однородные многогранники? Если существуют, то сколько? Невыпуклые однородные многогранники, то есть невыпуклые многогранники, все грани которых — правильные многоугольники и все многогранные углы которых равны, действительно существуют. |
Невыпуклый многогранник с невыпуклыми гранями |
Однородный многогранник может быть невыпуклым в одном из двух случаев. Во-первых, его выпуклые грани могут пересекаться. На рисунке слева изображен октагемиоктаэдр. Его выпуклые грани — треугольники и шестиугольники — пересекаются, и в результате тело получается невыпуклым. Во-вторых, сами грани могут быть невыпуклыми правильными многоугольниками. На рисунке справа изображен малый звездчатый додекаэдр, гранями которого являются невыпуклые пятилучевые звезды — пентаграммы. Невыпуклые однородные многогранники, так же, как и выпуклые, делятся на три класса. Невыпуклые правильные однородные многогранники, или тела Кеплера-Пуансо — это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых — правильные многоугольники (например, все грани — пентаграммы). Невыпуклые полуправильные однородные многогранники — это невыпуклые однородные многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники нескольких различных типов (например, треугольники и пентаграммы). Кроме того, существует бесконечное семейство невыпуклых призм и антипризм. Их грани — правильные многогранники различных типов, но их выделяют в отдельное семейство по соображениям симметрии. |
Тела Кеплера-Пуансо
Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел — четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера-Пуансо. Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо — это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми. Гранями малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра являются правильные пентаграммы, которые соединяются в каждой вершине по пять в первом и по три во втором многограннике. Эти тела были впервые описаны Иоганном Кеплером. Грани большого додекаэдра — правильные пятиугольники. Его вершины в точности совпадают с вершинами икосаэдра, но грани пересекаются. Последний прдеставитель этого семейства — большой икосаэдр. Его вершины также совпадают с вершинами икосаэдра, но грани — пересекающиеся треугольники. Так же, как и предыдущий многогранник, большой икосаэдр впервые был описан Луи Пуансо. Платоновы тела и тела Кеплера-Пуансо вместе составляют семейство из девяти правильных однородных многогранников. Коши доказал, что этот список полон, то есть других правильных однородных многогранников не существует. |
Представители семейства | |||
---|---|---|---|
1. малый звездчатый додекаэдр | 3. большой звездчатый додекаэдр | ||
2. большой додекаэдр | 4. большой икосаэдр |
Невыпуклые полуправильные
однородные многогранники.
Вспомним, что однородным называется многогранник, все грани которого — правильные многоугольники (возможно, невыпуклые), а все вершины одинаковы. В список однородных многогранников, таким образом, попадают 5 платоновых тел, 13 или 14 архимедовых тел, 4 тела Кеплера-Пуансо и, кроме того, бесконечные семейства выпуклых и невыпуклых призм и антипризм. Существуют ли другие однородные многогранники? Если существуют, то сколько? Ответ на этот вопрос известен — существуют еще 53 полуправильных невыпуклых однородных многогранника. Как следует из названия, в это семейство входят невыпуклые аналоги архимедовых тел, то есть невыпуклые многогранники, грани которых — несколько различных правильных многоугольников (возможно, невыпуклых). 37 представителей этого семейства обнаружил Бадуро (публикация 1881 г.), исследовавший платоновы и архимедовы тела с целью найти правильные многоугольники или звезды среди сечений этих тел. При этом плоскости таких сечений могут пересекаться. Дело в том, что если из исходного тела удалить некоторые симметрично расположенные части, отделяемые этими плоскостями, то может получиться новый однородный многогранник. Такой процесс удаления «лишних» частей можно назвать огранкой многогранника. Если с этой позиции рассмотреть тела Кеплера-Пуансо, то обнаруживается, что малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр могут быть получены огранкой икосаэдра, а большой звездчатый додекаэдр — огранкой додекаэдра. Помимо Бадуро, поисками невыпуклых однородных многогранников занимались и другие исследователи. В публикации от 1878 года Гесс указал два новых однородных многогранника (его работа предшествовала публикации Бадуро). Питч (1881 год) независимо нашел 18 однородных многогранников, причем некоторые из них не содержались в списке Бадуро. В 1930-1932 годах Коксетер и Миллер открыли 12 новых однородных многогранников, но не опубликовали свой результат, так как надеялись получить строгое доказательство того, что других однородных многогранников не существует. Независимо от них М. Лонге-Хиггинс и Г. Лонге-Хиггинс в 1942-1944 годах нашли 11 из 12 этих многогранников. В 1952 году обе группы исследователей смогли ознакомиться с параллельно ведущимися работами. Тем временем в 1947 году Лесавр и Мерсье еще раз «переоткрыли» 5 из этих 12 тел. В статье «Однородные многогранники», вышедшей в 1954 году, Коксетер, Миллер и М. Лонге-Хиггинс перечислили все 75 известных на тот момент однородных многогранников. Как отмечали авторы статьи, они предполагали, что » приведенное перечисление полное, хотя строгое доказательство этого еще только требуется получить». Доказательство полноты этого списка было получено только в 1975 году Скиллингом. Использовался компьютерный перебор всех возможных треугольников Шварца — сферических треугольников, сеть которых покрывает сферу конечное число раз. В результате Скиллинг «переоткрыл» все 75 ранее известных однородных многогранников и доказал, что других однородных многогрнников не существует. |
Невыпуклые призмы и антипризмы.
Наряду с семейством выпуклых призмам и антипризм существует семейство невыпуклых призм и антипризм. Так же, как и их выпуклые аналоги, невыпуклые призмы и антипризмы состоят из равных параллельных оснований, соединенных боковыми сторонами. Но, в отличие от выпуклых призм и антипризм, основаниями представителей рассматриваемого семейства являются невыпуклые многоугольники — например, пятилучевые звезды (пентаграммы). В статье о выпуклых призмах и антипризмах было описано, как на данном основании строится соответствующая призма или антипризма. Кроме подсемейства призм и подсемейства антипризм, рассматриваемое семейство содержит еще одно, третье подсемейство -пересеченных антипризм. Пересеченная антипризма может быть получена из обычной антипризмы, если повернуть одно основание относительно другого на 180°, а затем сдвинуть основания так, чтобы боковые стороны стали правильными треугольниками. Можно заметить, что такую операцию можно провести не над каждой антипризмой. Например, если попытаться сделать описанные манипуляции с гексаграмматической антипризмой то обнаружится, что для того, чтобы сделать боковые стороны правильными треугольниками, необходимо сблизить основания до их совпадения. Полученный вырожденный (плоский) объект уже нельзя назвать пересеченной антипризмой. Если же попытаться получить пересеченную антипризму из дигептаграмматической антипризмы то выяснится, что при любом расстоянии между основаниями боковые стороны не удастся сделать правильными треугольниками. Каково же условие, при выполнении которого из антипризмы можно получить пересеченныю антипризму? Оно очень простое: угол при вершине многоугольника, лежащего в основании, должен быть строго меньше 60°. Угол при вершине основания у гексаграмматической антипризмы равен 60°, у дигептаграмматической антипризмы — примерно 77°, поэтому соответствующие пересеченные антипризмы не существуют. Угол при вершине основания тетраэннеаграмматической антипризмы равен 20°, поэтому тетраэннеаграмматическая пересеченная антипризма существует. Так как семейство невыпуклых призм и антипризм бесконечно, то, естественно, невозможно показать всех его представителей. Здесь представлены только те невыпуклые призмы и антипризмы, а также пересеченные антипризмы, основания которых имеют не более десяти вершин. |